Лінійні рівняння з однією змінною, 7 клас: пояснення з прикладами

Лінійні рівняння — фундамент усієї шкільної алгебри. Якщо добре зрозуміти цю тему в 7 класі, то квадратні рівняння, системи й нерівності далі підуть набагато легше.

Що таке лінійне рівняння

Лінійним рівнянням з однією змінною називають рівняння виду

де $x$ — змінна, а $a$ і $b$ — числа. Наприклад: $3x = 12$, $-2x = 5$, $0 \cdot x = 7$.

Корінь рівняння — це значення змінної, при якому рівняння перетворюється на правильну числову рівність. Розв’язати рівняння — означає знайти всі його корені або довести, що їх немає.

Скільки коренів може бути

Усе залежить від коефіцієнта $a$:

Два головні правила

Щоб звести будь-яке рівняння до вигляду $ax = b$, користуємося двома властивостями:

1. Будь-який доданок можна перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак.
2. Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне й те саме число, яке не дорівнює нулю.

Алгоритм розв’язування:

1. Розкрити дужки.
2. Перенести доданки зі змінною вліво, числа — вправо.
3. Звести подібні доданки.
4. Поділити обидві частини на коефіцієнт при $x$.

Приклад 1. Найпростіший

Переносимо $-7$ вправо зі зміною знака:

Перевірка: $3 \cdot 5 - 7 = 8$. ✓

Приклад 2. З дужками

Розкриваємо дужки і переносимо:

Перевірка: $5 \cdot (7 - 2) = 25$ і $2 \cdot 7 + 11 = 25$. ✓

Приклад 3. З дробами

Позбуваємося знаменників: множимо обидві частини на спільний знаменник $12$:

Приклад 4. Коренів безліч

Рівність правильна при будь-якому $x$. Відповідь: $x$ — будь-яке число.

Приклад 5. Коренів немає

Нуль, помножений на будь-яке число, не дорівнює 6. Відповідь: коренів немає.

Задача: складаємо рівняння

Сума трьох послідовних натуральних чисел дорівнює 48. Знайдіть ці числа.

Нехай менше число $x$, тоді наступні — $x + 1$ і $x + 2$:

Відповідь: 15, 16, 17.

Типові помилки семикласників

• Переносять доданок, не змінивши знак: з $x + 5 = 9$ пишуть $x = 9 + 5$.
• Розкриваючи дужки з мінусом, змінюють знак лише першого доданка: $-(x - 3) = -x - 3$ — неправильно, має бути $-x + 3$.
• Ділять на коефіцієнт, не дивлячись на знак: з $-2x = 8$ отримують $x = 4$ замість $x = -4$.

Спробуйте самі

Розв’яжіть рівняння $7 - 2(x - 1) = x - 3$.