Квадратні рівняння, 8 клас: пояснення через дискримінант і приклади

Квадратне рівняння має вигляд $ax^2 + bx + c = 0$ , де $a \ne 0$ . Найнадійніший спосіб його розв’язати — через дискримінант:

D = b^2 - 4ac, \qquad x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

Знак дискримінанта одразу підказує, скільки буде коренів:

Покрутіть коефіцієнти й подивіться, як знак $D$ змінює кількість точок перетину з віссю $x$ :

Рухайте коефіцієнти й дивіться, як змінюються корені, вершина та дискримінант.

D = b² − 4ac

y = x² − 2x − 3

a1,0

b-2,0

c-3,0

Завдання

Приклад 1. Два корені

Розв’яжемо $x^2 - 5x + 6 = 0$ . Тут $a = 1$ , $b = -5$ , $c = 6$ .

D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1

x_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{2} \quad\Rightarrow\quad x_1 = 3,\; x_2 = 2

Перевірка за теоремою Вієта: $x_1 + x_2 = 5 = -\tfrac{b}{a}$ і $x_1 \cdot x_2 = 6 = \tfrac{c}{a}$ . Усе сходиться.

$2x^2 + 4x + 2 = 0$ : $D = 16 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 0$ , тому

x = \frac{-4}{2 \cdot 2} = -1

Порада: рівняння можна було спершу поділити на 2 і побачити повний квадрат $(x + 1)^2 = 0$ .

$x^2 + 2x + 5 = 0$ : $D = 4 - 20 = -16 < 0$ . Квадратний корінь з від’ємного числа серед дійсних чисел не існує — коренів немає.

При якому значенні $a$ рівняння $x^2 - 4x + a = 0$ має рівно один корінь?

Один корінь означає $D = 0$ :

D = 16 - 4a = 0 \quad\Rightarrow\quad a = 4

Відповідь: $a = 4$ .

Губиться знак $b$ . Якщо $b = -5$ , то $-b = 5$ , а $b^2 = 25$ , а не $-25$ .
Ділять лише корінь на $2a$ . На $2a$ ділиться весь чисельник $-b \pm \sqrt{D}$ .
Забувають про $a \ne 0$ . Якщо $a = 0$ , рівняння вже лінійне, і формула не працює.

Розв’яжіть $3x^2 - 7x + 2 = 0$ .

Показати відповідь

Відповідь: $D = 49 - 24 = 25$ , $x_1 = 2$ , $x_2 = \tfrac{1}{3}$ .