Фізика10 клас· 2 хв читання

Рух тіла, кинутого під кутом, 10 клас: чому найдалі — під 45°

Виводимо формулу дальності польоту тіла, кинутого під кутом до горизонту, доводимо, що максимум досягається при 45°, і розв’язуємо задачу НМТ.

Ця задача — ідеальний місток між фізикою і математикою: фізика дає рівняння руху, а математика знаходить, де функція досягає максимуму. Нижче в статті є інтерактивна мішень — перевірте формулу на практиці.

Умова

М’яч кидають з поверхні землі зі швидкістю v0v_0 під кутом α\alpha до горизонту. Опором повітря нехтуємо. Знайти дальність польоту LL і кут, при якому вона максимальна.

Розкладаємо рух на дві осі

По горизонталі сили не діють — рух рівномірний. По вертикалі діє сила тяжіння — рух рівноприскорений:

x(t)=v0cos⁡α⋅t,y(t)=v0sin⁡α⋅t−gt22x(t) = v_0 \cos\alpha \cdot t, \qquad y(t) = v_0 \sin\alpha \cdot t - \frac{g t^2}{2}

Час польоту

М’яч падає на землю, коли y(t)=0y(t) = 0:

t(v0sin⁡α−gt2)=0⇒T=2v0sin⁡αgt\left(v_0 \sin\alpha - \frac{g t}{2}\right) = 0 \quad\Rightarrow\quad T = \frac{2 v_0 \sin\alpha}{g}

Дальність польоту

Підставляємо TT у x(t)x(t) і згадуємо формулу синуса подвійного кута 2sin⁡αcos⁡α=sin⁡2α2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha:

L=v0cos⁡α⋅2v0sin⁡αg=v02sin⁡2αgL = v_0 \cos\alpha \cdot \frac{2 v_0 \sin\alpha}{g} = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}

Чому саме 45°

При заданій швидкості v0v_0 дальність залежить лише від sin⁡2α\sin 2\alpha. Синус не перевищує 1, а sin⁡2α=1\sin 2\alpha = 1 при 2α=90∘2\alpha = 90^\circ, тобто

α=45∘,Lmax=v02g\alpha = 45^\circ, \qquad L_{max} = \frac{v_0^2}{g}

Для v0=20v_0 = 20 м/с і g=9,8g = 9{,}8 м/с²: Lmax=4009,8≈40,8L_{max} = \dfrac{400}{9{,}8} \approx 40{,}8 м.

Цікавий наслідок: кути 30∘30^\circ і 60∘60^\circ дають однакову дальність, бо sin⁡60∘=sin⁡120∘\sin 60^\circ = \sin 120^\circ. Загалом однаково далеко летять тіла, кинуті під кутами α\alpha і 90∘−α90^\circ - \alpha. А от висота польоту різна:

H=v02sin⁡2α2gH = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}

Перевірте на практиці

Тепер, знаючи формулу, влучте в мішень — спершу розрахуйте швидкість, а потім стріляйте:

Влуч у ціль

Підберіть кут і швидкість так, щоб м’яч упав на мішень. Опором повітря нехтуємо, g = 9,8 м/с².

L = v₀² sin 2α / g
1020304050607040 м

 

Влучань 0 · Пострілів 0

Задача для тренування

Тіло кинули зі швидкістю 15 м/с під кутом 30° до горизонту. Знайдіть час польоту, дальність і максимальну висоту. Вважайте g=10g = 10 м/с².

Показати відповідь

T=2⋅15⋅0,510=1,5T = \dfrac{2 \cdot 15 \cdot 0{,}5}{10} = 1{,}5 с; L=225⋅sin⁡60∘10≈19,5L = \dfrac{225 \cdot \sin 60^\circ}{10} \approx 19{,}5 м; H=225⋅0,2520≈2,8H = \dfrac{225 \cdot 0{,}25}{20} \approx 2{,}8 м.

А в реальному житті?

Через опір повітря оптимальний кут для м’яча чи ядра трохи менший за 45°. Але на НМТ опором повітря нехтують — сміливо пишіть 45°.